Από την εποχή του Ερατοσθένη, τον 3ο αιώνα π.Χ., οι πρώτοι αριθμοί γοήτευαν αλλά και προκαλούσαν σύγχυση στους μαθηματικούς. Ο αρχαίος Έλληνας λόγιος επινόησε την «κοσκίνιση του Ερατοσθένη», μία μέθοδο φιλτραρίσματος αριθμών ώστε να απομονώνονται οι πρώτοι αριθμοί, αριθμοί, δηλαδή, που διαιρούνται μόνο από τον εαυτό τους και το 1.

Παρ’ όλη την απλότητά της, η μέθοδος αυτή παραμένει μέχρι και σήμερα μία από τις πιο αποτελεσματικές για την αναγνώριση πρώτων. Το γεγονός αυτό υπογραμμίζει πόσο δύσκολο είναι να κατανοήσει κανείς την εσωτερική δομή τους. Οι πρώτοι αριθμοί φαίνεται να εμφανίζονται χαοτικά μέσα στη γραμμή των φυσικών, αντιστεκόμενοι σε κάθε προσπάθεια πρόβλεψης ή ταξινόμησης.

Το προηγούμενο έτος, όμως, μία ερευνητική ομάδα τριών μαθηματικών εντόπισε μια απροσδόκητη μορφή τάξης ανάμεσα στους πρώτους αριθμούς – με την ανακάλυψη να προέρχεται από έναν τελείως διαφορετικό τομέα των μαθηματικών.

«Η εργασία μας συνδέει δύο θεμελιώδεις περιοχές της θεωρίας αριθμών: τους πρώτους αριθμούς και τις διαμερίσεις αριθμών», δήλωσε ο καθηγητής Ken Ono, Μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Βιρτζίνια και συν-συγγραφέας της σχετικής μελέτης.

«Παρότι οι πρώτοι αριθμοί μελετώνται επί αιώνες, πολλά από τα πιο βασικά τους χαρακτηριστικά παραμένουν άγνωστα. Αποδείξαμε άπειρους νέους τρόπους για να εντοπίσουμε πρώτους αριθμούς χωρίς να χρειάζεται έλεγχος διαιρετότητας – κάτι που μέχρι σήμερα ήταν από τους κύριους λόγους που είναι τόσο δύσκολη η αναγνώρισή τους.»

Η σπουδαιότητα της μελέτης αποτυπώνεται και στη βράβευση του καθηγητή Ono ως φιναλίστ για το βραβείο Cozzarelli 2025 στις επιστήμες, μία διάκριση που απονέμεται σε άρθρα με εξαιρετική συνεισφορά στον εκάστοτε επιστημονικό κλάδο.

Οι πρώτοι: Το DNA της αριθμητικής

Οι πρώτοι αριθμοί, αν και φαινομενικά απλοί, αποτελούν τους θεμέλιους λίθους όλων των φυσικών αριθμών. Είναι τα «άτομα» της αριθμητικής: αδιαίρετοι, απρόβλεπτοι και εξαιρετικά χρήσιμοι.

Όπως εξηγεί ο μαθηματικός Ιττάι Βάις, «Ένας από τους πιο διαδεδομένους τρόπους χρήσης των πρώτων αριθμών στην πληροφορική είναι το σύστημα κρυπτογράφησης RSA το οποίο επιτρέπει την ασφαλή μετάδοση ευαίσθητων πληροφοριών, όπως αριθμοί πιστωτικών καρτών, στο διαδίκτυο.»

Η δυσκολία στον εντοπισμό μεγάλων πρώτων είναι αυτό ακριβώς που εξασφαλίζει την ασφάλεια τέτοιων συστημάτων και κάθε νέα γνώση γύρω από αυτούς ενδέχεται να έχει τεράστιες συνέπειες.

Το κλειδί: Διαμερίσεις ακέραιων αριθμών

Η μεγάλη ανατροπή ήρθε από ένα διαφορετικό κομμάτι της αριθμητικής: τις διαμερίσεις αριθμών, δηλαδή, όλους τους δυνατούς τρόπους να γραφεί ένας ακέραιος ως άθροισμα άλλων μικρότερων ακέραιων (π.χ. το 4 γίνεται: 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1).

Αυτό που εντόπισαν οι ερευνητές είναι ότι μέσα στις διαμερίσεις ενυπάρχουν μαθηματικές συναρτήσεις – γνωστές ως συναρτήσεις διαμερίσεων – οι οποίες σχετίζονται με μια ιδιαίτερη κατηγορία εξισώσεων, τις Διοφαντικές εξισώσεις. Αυτές είναι εξισώσεις που έχουν άπειρες ακέραιες λύσεις, όπως η εξίσωση του Πυθαγόρα.

Η ανακάλυψη των Ono και συνεργατών του; Ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι λύσεις άπειρων ειδικών Διοφαντικών εξισώσεων που συνδέονται με τέτοιες συναρτήσεις διαμερίσεων.

«Με άλλα λόγια, οι διαμερίσεις ακέραιων αριθμών μπορούν να “ανιχνεύσουν” τους πρώτους αριθμούς με φυσικούς τρόπους – και μάλιστα, άπειρους από αυτούς», εξηγεί η δημοσίευση της ομάδας.

Ένας απρόσμενος συσχετισμός

Η αποκάλυψη αυτού του απροσδόκητου δεσμού εντυπωσίασε και την ακαδημαϊκή κοινότητα.

«Είναι εντυπωσιακό ότι ένα τόσο κλασικό συνδυαστικό αντικείμενο – η συνάρτηση διαμερίσεων – μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον εντοπισμό πρώτων με τόσο καινοτόμο τρόπο», δήλωσε η καθηγήτρια Κατρίν Μπρίνγκμαν από το Πανεπιστήμιο της Κολωνίας στο Scientific American.

Ακόμα πιο απροσδόκητη ήταν η πηγή της έμπνευσης: όπως αποκάλυψε ο ίδιος ο Ono, η ερώτηση ενός φοιτητή στάθηκε αφορμή για την ανακάλυψη. Το εντυπωσιακότερο όλων όμως είναι πως η εργασία βασίστηκε αποκλειστικά σε ήδη γνωστά θεωρητικά εργαλεία.

«Ειλικρινά, πρόκειται για θεωρητικά μαθηματικά που θα μπορούσαν να είχαν γίνει ήδη από τη δεκαετία του 1950», ανέφερε ο Ono. «Αν είχα μια μηχανή του χρόνου, θα μπορούσα να πάω πίσω, να εξηγήσω τι κάναμε, και οι ειδικοί της εποχής θα ενθουσιάζονταν εξίσου.»

Και τώρα τι;

Παρότι η νέα προσέγγιση δεν ανατρέπει άμεσα την ασφάλεια διαδικτυακών συστημάτων, η κατανόηση των πρώτων αριθμών παραμένει ζωτικής σημασίας – ιδίως ενόψει της επικείμενης εποχής των κβαντικών υπολογιστών.

«Τα καλά νέα είναι ότι ο κόσμος είναι ακόμη ασφαλής», καθησύχασε ο Ono. «Αλλά η κατανόηση των πρώτων παραμένει κρίσιμος τομέας έρευνας.»

«Αν κάποιος καταφέρει να κατασκευάσει έναν αποτελεσματικό κβαντικό υπολογιστή, τότε η χρήση των πρώτων στην κρυπτογραφία θα ανατραπεί πλήρως – και η μαθηματική κοινότητα προετοιμάζεται ήδη για αυτό.»

Για την ώρα, η σύνδεση των πρώτων με τις διαμερίσεις ανοίγει νέες λεωφόρους έρευνας – ίσως όχι για να λύσει άμεσα εμβληματικά προβλήματα όπως την Εικασία του Γκόλντμπαχ, αλλά σίγουρα για να αναζωογονήσει την σκέψη σε υποπεδία της αριθμητικής.

Όπως το έθεσε η Μπρίνγκμαν:

«Αποτελέσματα σαν αυτό συχνά ενεργοποιούν νέο τρόπο σκέψης σε πολλά διαφορετικά πεδία.»